÷ƒ’À; TeX output 2004.08.28:1038‹ ÿÿÿÿ‘Ý'½ ý=òï landscapeïhtml:ï html:ŽŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïheader=pstricks.proïheader=pst-dots.proïhtml:ï html:Ÿóèïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ÿ6oJ‘
qºïcolor push Blackï color popŽŽŸÞ
z‘q½óKtEo é lcmss8ÀGraph-based–KÌp‘ÿOro‘ °üof“countingŽŽ¤ö‘Eô>and‘KÌenumeration,ŽŽ¡‘7(Îwith–KÌapplications“fo‘ÿOrŽŽ¡‘Fp‘ÿOrogram–KÌfragment“synthesisŽŽŽŽ’-#sï color popŽŸRhN‘mé/óKtEo …$ lcmss8¿Bo•™˜ris‘ÌÏY‘þÌËak“obfgo“wskiŽ¤úÿþïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6©…’ ƒYâENS‘ÌÏLy™˜onï color popŽŸ¿’ „ßJofge‘ÌÏW™˜ellsŽ¡ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6¦‘v&¥UL‘þÌËTRA‘ÌÏGroupï color popŽŸü™˜ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿë€‘<Å7Heriot-W•™˜att›ÌÏUniversit“y‘þÌË,˜Edinburghï color popŽŸ™šïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŽŒ‹ *ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘@¿ ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ó*Ä
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Ò÷ lcmssb8ÕGoal:‘rµT‘þj}erm‘VenumerationŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:Ÿ1ùïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ó$—³îÍ
msam10ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Given–ÌÏa“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1t™˜ypfge“environmentï color pop“óX«Q cmr12ÖUR=“ó!",š
cmsy10Éfó·ág£ cmmi12ÆxŸÌÌó+|{Y cmr8Ö1Ž‘VÃ:“ÆAŸÌÌÖ1Ž‘ÀÆ;–ÿþ:::;“xŸÌÌó-×2 cmmi8ØnŽ‘ý¢Ã:‘URÆAŸÌÌØnŽ‘¨PÉgŽ¤…‘™¨¿and–ÌÏa“t™˜ypšfge“ÆA¿,“is“it“p˜ossible“to“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1createï color pop“a“term“ofŽ¡‘™¨t™˜ypšfge–ÌÏÆA“¿using“the“ÆxŸÌÌØiŽ‘dÚ¿,“and“combination“metho˜dsŽ¡‘™¨such–ÌÏas“function“applicationŽŸïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿If–ÌÏso,“wš™˜e“w˜ant“to“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1enumerateï color pop“all“the“dierent“w˜a˜ysŽ¡‘™¨of–ÌÏgetting“this“termŽŸ›ïadvi: pauseŸ‰+ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿë€Settingï color pop:‘'`T‘þÌËo–N½bfge“used“b™˜y“language“of“the“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ML‘Nfamilyï color pop,‘gôbutŽ¡should–ÌÏbšfge“usable“with“any“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1strongly-t™˜yp˜edï color pop“language.ŽŸ…W™˜e–ÌÏconsider“Æ¿-calculus“with“pairs“and“injections.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ ªŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:Ÿ´È’ “ 9ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕUseŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:Ÿóèïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6¤ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨Ã[¿Haack+othersŽ‘S®KÃ]ï color pop–ÌÏ¿AxML“(Another“Extended“ML)Ž¡‘™¨Automatic–ÌÏgeneration“of“functions“which“satisfyŽŸ…‘™¨ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1semantic–ÌÏconstraintsï color pop“ïadvi: pauseŽŸ ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6¡ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨Ã[¿Di‘ÌÏCosmo+othersŽ‘j¾Ã]ï color popŽ¡‘™¨¿Automatic–ÌÏïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1compšfgositionï color pop“of“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1mo˜dulesï color popŽŸ›ïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ ŒŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥’ €3öïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕExampleŽ’Baþï color popŽŸ k‰ïhtml:ï html:ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿ™”¿T‘þÌËypfge‘ÌÏenvironment:ï color popŽŸhÖïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2Ÿë~‘ùÿýïcolor push Blackï color popŽŽó7߆µT cmtt12âisï color pop–,Í=“int“stackŽ¤…ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2emptyï color pop:‘,ÍisŽ¡ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2pushï color pop:–,Í(int“*“is)“->“isŽ¡ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2foldï color pop:–,Í((int“*“is)“->“is)“->“is“->“is“->“isŽŸXbïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6©…¿Desired–ÌÏresult“t™˜ypfge:ï color popŽ¡â(is–,Í*“is)“->“isŽŸ ÿþïadvi: pauseïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6¦¿P™˜ossible‘ÌÏsolutions:ï color popŽŸ Ï<ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1¡‘ùÿýïcolor push Blackï color popŽŽâfunctionï color pop‘ê}‰ ff ´}Ž‘ËÇ->‘,Íïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2emptyï color popŽ¡ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1functionï color pop–,Í(‘ ½°‰ ff ´}Ž‘r-,“s)“->“sŽ¡ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1functionï color pop–,Í(s,“s')“->“ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2fold“pushï color pop“s“s'ŽŸ*«ïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹
ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘jA5ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕGeneralizationŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:Ÿ…¿W•™˜e›ÌÏw“ould˜lik“e˜to˜nd˜the˜same˜solutions˜using˜theŽ¤…follo•™˜wing›ÌÏ(ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1mo“re˜generalï color pop)˜t“ypfge˜environment:ŽŸ-ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿ´T‘þÌËypfge‘ÌÏenvironment:ï color popŽŸhÖïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2Ÿë~‘ùÿýïcolor push Blackï color popŽŽâemptyï color pop:–,Íïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stackŽ¡ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2pushï color pop:–,Í(ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“*“(ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stack))“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stackŽ¡ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2foldï color pop:–,Í((ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“*“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'bï color pop)“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'bï color pop)“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'bï color pop“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stack“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'bï color popŽŸXbïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿ…¿Desired‘ÌÏresult:ï color popŽ¡â((ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop–,Ístack)“*“(ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stack))“->“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1'aï color pop“stack‘ÌÏïadvi: pauseŽŸE¿Unfo•™˜rtunately‘þÌË,›ÌÏw“e˜do˜not˜reach˜(y“et)˜this˜goal.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ þŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘T<¥ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕP–ÿxÔossible‘Vapp“roachesŽ’Baþï color popŽŸ k‰ïhtml:ï html:Ÿ0
{¿Use–ÌÏof“the“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Curry-Ho•™˜w“a“rd‘ÌÏco“rrespfgondenceï color popŽŸ…(p•™˜ropšfgositions-as-t“yp˜es,‘ÌÏp“ro˜ofs-as-p“rograms):‘fiïadvi: pauseŽŸŽFïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Existing–ÌÏresults“in“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1t™˜ypfge“inhabitationï color popŽŸïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿T‘þÌËechniques–ÌÏfrom“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1pš™˜rofgof“sea˜rchï color popŽŸ›ïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ ñŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘\þšïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕT‘þj}yp‘ ‡+e‘VinhabitationŽ’Baþï color popŽŸ k‰ïhtml:ï html:Ÿ'„O¿An–ÌÏalgo™˜rithm“exists:‘fiïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ã[¿Ben-Y‘þÌËellesŽ‘<£ÿÆ;‘ÿþÃ1979]ï color pop¿.ŽŸ…But:Ž¤ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿F•™˜o“r–ÌÏpure“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Æ¿-calculusï color pop“only‘þÌË.Ž¡ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿The–ÌÏalgoš™˜rithm“is“extracted“from“a“p˜rofgof,“and“isŽ¤…‘™¨quite‘ÌÏïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1inecientï color pop.ŽŸSŽïadvi: pauseŸë€T‘þÌËypfge–ÌÏinhabitation“is“mainly“concerned“with“decidingŽ¡whether–ÌÏoš™˜r“not“a“t˜ypfge“is“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1inhabitedï color pop“(i.e.‘fia“t˜ypfge“isŽ¡inhabited–ÌÏif“it“is“a“true“p™˜ropfgosition),“not“really“withŽ¡ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ndingï color pop–ÌÏits“inhabitants.ŽŸ™šïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ 9ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘`ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕCho‘ ‡+osing–Vthe“logic“fo›ÿxÔr“p˜ro‘ ‡+of“sea˜rchŽ’Baþï color popŽŸ k‰ïhtml:ï html:Ÿ!Ó‡ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Natural–ÌÏdeduction“(NJ)Ž¤ffïadvi: proc=NJ1 record=start©^³‘™¨ïcolor push Black‘ìÒïcolor push gray .5Æ.ï color popŽ‘
ÌÎï color popŽŽ‘&fy¿Profgofs–ÌÏïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ha™˜rdï color pop“to“nd“automatically“ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6(bad)ï color popïadvi: proc record=end“ïadvi: proc=NJ2 record=startŽŸfgïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ÿ^²‘™¨ïcolor push Black‘ìÒïcolor push gray .5Æ.ï color popŽ‘
ÌÎï color popŽŽ‘&fy¿Bijectionï color pop›ÌÏbfget•™˜w“een˜no“rmal˜p“rofgofs˜and˜terms˜inŽŸ…‘&fyno•™˜rmal›ÌÏfo“rm˜ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6(go•fgo“d)ï color popïadvi: proc record=endŽŸ NFïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Sequent–ÌÏcalculus“(LJ)Ž¡ïadvi: proc=LJ1 record=start¦‘™¨ïcolor push Black‘ìÒïcolor push gray .5Æ.ï color popŽ‘
ÌÎï color popŽŽ‘&fy¿Seaš™˜rch–ÌÏis“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1directedï color pop“b˜y“the“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1syntaxï color pop“of“theŽ¤…‘&fyp™˜rop•fgositions›ÌÏïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6(go“o“d)ï color popïadvi: proc record=end˜ïadvi: proc=LJ2 record=startŽŸÅ‘™¨ïcolor push Black‘ìÒïcolor push gray .5Æ.ï color popŽ‘
ÌÎï color popŽŽ‘&fy¿The–ÌÏassošfgciation“b˜et•™˜w“een›ÌÏno“rmal˜p“rofgofs˜andŽ¡‘&fyÆ¿-terms–ÌÏin“noš™˜rmal“fo˜rm“is“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1many-to-oneï color pop“ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6(bad)ï color popïadvi: proc record=endŽŸægïadvi: pauseïadvi: proc=NJ1 playïadvi: proc=LJ1 playïadvi: pauseïadvi: proc=NJ2 playïadvi: proc=LJ2 playïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ ²ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘TuËïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕBest–Vof“b‘ ‡+oth“w–ÿxÔo“rldsŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:ŸWïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6©…Ã[¿HerbfgelinŽ‘0)Æ;‘ÿþÃ1995]ï color pop¿:‘fiLJTŽ¤ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Sequent‘ÌÏcalculusŽ¡ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨¿Prošfgofs–ÌÏin“bijection“with“simply“t™˜yp˜ed“Æ¿-terms“inŽ¤…‘™¨no•™˜rmal‘ÌÏfo“rmŽŸ€ïadvi: pauseŸ#¿
Uses–ÌÏa“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1stoupï color pop“(containing“either“a“foš™˜rmula“o˜r“nothing)Ž¡to–ÌÏïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1fošfgcusï color pop“the“p™˜ro˜of.Ž¦If–ÌÏthe“stoup“is“full,“pš™˜rofgof“sea˜rch“can“only“w˜o˜rk“on“itsŽ¡content.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
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']ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘Q¨Çïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕPresentation–Vof“LJTŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:ŸÃïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6Ÿ…¿Propfgositional–ÌÏlanguageï color pop:‘fiÆA“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ã:=Ž‘3ãï color pop“ÆX‘FÕïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ÉjŽ‘œ+ï color pop–URÆA“É!“ÆA“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ÉjŽ›ª¨ï color pop“ÆA–ª¨É_“ÆA‘URïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1ÉjŽ˜ï color pop‘URÆA“É^“ÆAŽŸ ïadvi: pauseŸ—oïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6¿Rulesï color pop:Ÿq‘‘;(qŸòÿ‰ zà /þÖŸ
úà ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1;Ž‘CŒï color popŽ‘CŠÆX‘FÕïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘œ+ï color popŽ‘ñ}ÆXŽŽŽŽŽŽŽŽ‘o¯ÌŸõÁ–ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2ó(KtEo lcmss8ÓAxŽ‘
ã’ï color popŽŽŽŽŸìÉ’ ¬D§Ã ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Æ;Ž‘CŒï color popŽ–CŠAïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ã;Ž‘CŒï color popŽ“ÆA‘URïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘
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ÿúÆBŽŽŽŽ’ ¬D¦Ÿà=‰ zà ;|Ÿ
ú‘sà ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Æ;Ž‘CŒï color popŽ–CŠAïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ã;Ž‘CŒï color popŽ“ŸÌÌó/¾KÈ cmsy8ÚŽ‘
Xàïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘®6ï color popŽ‘ˆÆBŽŽŽŽŽŽŽŽ’ ëѧŸõÁ–ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2ÓContŽ‘ Ö(ØAÖ)Ž‘ úaï color popŽŽŽŽŽŸÒäŸ%dŸìÉ‘ª[à ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1;Ž‘CŒï color popŽ‘CŠŸÌÌÚŽ‘
Xàïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘®6ï color popŽ‘ˆÆAŽ‘Y¡Ã ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1;Ž‘CŒï color popŽ‘CŠÆB‘ðXïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘E®ï color popŽ‘› ÆCŽŽŽŽ‘ª[Ÿà=‰ zà r^ŒŸ
ú‘¾˜Ã ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1;Ž‘CŒï color popŽ‘CŠÆA–UTÉ!“ÆB‘ðXïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘E®ï color popŽ‘› ÆCŽŽŽŽŽŽŽŽ’ ‹‘lŸõÁ–ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2ÓImpŽ‘U[Ÿ·xLŽŽ‘€ï color popŽŽŽŽŸìÉ’ Àsóà ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Æ;Ž‘CŒï color popŽ–CŠAïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ã;Ž‘CŒï color popŽ“ŸÌÌÚŽ‘
Xàïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘®6ï color popŽ‘ˆÆBŽŽŽŽ’ »ÀcŸà=‰ zà @\¶Ÿ
úà ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1;Ž‘CŒï color popŽ‘CŠŸÌÌÚŽ‘
Xàïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1É`Ž‘®6ï color popŽ‘ˆÆA–UTÉ!“ÆBŽŽŽŽŽŽŽŽ’ ¥žŸõÁ–ïcolor push rgb 0.2 0.6 0.2ÓImpŽ‘U[Ÿ·xRŽŽ‘\yï color popŽŽŽŽŽŽŽŽŽŸ^šüïadvi: pauseŸ‰+ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1Ÿã׿4–“ˆother“rulesï color pop,›žýfo™˜r“conjunctions“and“disjunctions,˜on“theŽŸ…left–ÌÏand“on“the“right.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ +#ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘û´bïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕGraphical–Vrep›ÿxÔresentation“of“p‘ ‡+ossible“p˜ro‘ ‡+ofsŽ’Baþï color popŽŸ k‰ïhtml:ï html:ŸJ[ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨Æs–URÉ2“ó;‚ÎR6 cmss12æSequentsŽ‘3ï‚¿(triples–ÌÏof“assumptions,“stoup,“goal)Ž¤ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨æRAŽ‘$í)Ã(ÆsÃ)¿:‘firules–ÌÏapplicable“to“Æs¿.Ž¡ïcolor push Black‘DNïcolor push gray .5ÏIï color popŽ‘™¥ï color popŽŽ‘™¨æVPŽ‘(+_Ã=›URÉfÃ(Æs;–ÿþrSŽÃ)“Éj“Æs˜É2˜æSequentsŽ‘/"³Æ;‘ÌÍr‘¨àÉ2˜æRAŽ‘¨ÓÃ(ÆsÃ)Ég–ÌÏ¿(\valid“pairs").Ž¡T‘þÌËo–ÌÏhelp“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1manageï color pop“the“seaš™˜rch“space,“w˜e“use“a“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1graphï color pop“æG¿,Ž¤…with›ÌÏt•™˜w“o˜kind˜of˜no•fgdes.‘fiOne˜of˜them˜is˜lab“elled˜b™˜yŽ¡æSequentsŽ‘+Ía¿,–ÌÏthe“other“b™˜y“æVPŽ‘ 4¿.ŽŸ…All–ÌÏpšfgossible“p™˜ro˜of“trees“a™˜re“emb˜edded“in“æG¿.ŽŸ™šïadvi: pauseŸMæGÃ(ÆsÃ)–ÌÏ¿is“the“smallest“subgraph“of“æG“¿containing“all“theŽ¡nošfgdes–ÌÏaccessible“from“Æs¿.‘fiSimila™˜rly‘þÌË,“all“p˜ossible“p™˜ro˜ofŽ¡trees–ÌÏfoš™˜r“Æs“¿a˜re“embfgedded“in“æGÃ(ÆsÃ)¿.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
ps: 0 setgrayŽŽŸ»Ÿøî{ŽŽŒ‹ 5)ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:ŸÙ¥‘!†6ïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕDierent–Vversions“of“the“calculusŽ’Baþï color popŽŸ€ïhtml:ï html:©…¿Wš™˜e–ÌÏuse“t˜w˜o“dierent“versions“of“LJT:ŽŸ ïhtml:ï html:Ÿïcolor push Black‘fl1.Ž‘™¥ï color popŽŽ‘™¨LJTŸÌÌó<Æs6‘ cmss8çSetŽ‘Ò¿,–ÌÏïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1simpliedï color pop“version:‘fienvironments“a™˜reŽ¤…‘™¨repš™˜resented–ÌÏas“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1setsï color pop“of“fo˜rmulasŽŸ™œïhtml:ï html:Ÿkïcolor push Black‘fl2.Ž‘™¥ï color popŽŽ‘™¨LJTŸÌÌçMSetŽ‘|ƒ¿,\full"–ÌÏversion:‘fienvironments“a™˜reŽ¡‘™¨repš™˜resented–ÌÏas“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1multisetsï color pop“of“fo˜rmulasŽŸSŽïadvi: pauseŸë€Everything–ÌÏp™˜reviously“seen“is“dened“on“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1bfgoth“versionsï color popŽ¡of–ÌÏthe“calculus.Ž¦W™˜e–ÌÏuse“the“symbfgols“æSetŽ‘—Ì¿and“æMSetŽ‘#ÉŒ¿as“subscripts“toŽ¡indicate–ÌÏwhich“version“w™˜e're“using;“ó>LR§®
eusm10éS“¿ranges“over“æSetŽŽ¡¿and‘ÌÏæMSetŽ‘ü½¿.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
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:§ŸæÌUŸý&eŽ û¶‚‘® ÿL°ïhtml:ï html:Ÿ Ô‘GÒïcolor push rgb 0.2 0.2 0.6ÕExample:‘rµóB‚ÎR6 ff cmss12ëBGŸ(õóJLR§®
eusm10ëJSŽ‘ë¦óX«Q ff cmr12Â(ó·ág£ ff cmmi12ÅsŸ(õóKñ`y
cmr10²0Ž‘€Â)–VÕfo‘ÿxÔr“ÅsŸ(õ²0Ž‘ ýÂ=‘ÿü(ÅX‘»hó!",š ff
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,ïadvi: pauseŸ…¿If–ÌÏæCŸÌÌçSetŽ‘ÒÃ(ÆsÃ)“¿is“nite“and“dierent“from“Ã0¿,“the“numbfger“ofŽ¤…\useful"–ÌÏequations“in“the“system“of“pfgolynomials“fo™˜rŽ¡æCŸÌÌçMSetŽ‘|ƒÃ(ÆsÃ)–ÌÏ¿is“ïcolor push rgb 0.6 0.1 0.1niteï color pop,“and“wš™˜e“can“solve“it“no˜rmally‘þÌË.‘fiïhtml:ï html:ŽŽŽŽŽŽ’J«ï
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